在铣床加工过程中，工件装在工作台上或分度头等附件上，铣刀旋转为主运动，辅以工作台或铣头的进给运动，工件即可获得所需的加工表面。如果将工件看成固定的物体，其所在空间位置固定不变，将工作台面的运动转换为刀具的移动，移动过程中所占用的位置就是刀具的扫描体。

在加工之前，需要根据工件的形状进行建模，由专门的数控软件根据工件形状和最终生成的零件生成相应的刀具路径，然后根据刀具路径生成相应的G代码。五轴联动系统具有五个自由度，根据不同的型号的机床，可以进行各种形式的多轴联动，加工极为复杂的表面。

但正是由于高自由度和各种类型机床的不同形式，软件生成的加工路径可能造成机床部件和加工件的干涉，或者刀具与机床部件的干涉，导致加工无法进行。而现有的路径规划软件都未考虑刀具夹具等因素。所以，仿真系统模拟机床的加工过程就显得尤为重要。

一个典型的数控系统由代码翻译为机床各轴的运动进行驱动。仿真机床也由同样的G代码进行驱动。由于各种机床的G代码有所不同，需要进行定制开发，并且G代码翻译成刀位点的算法已经很成熟，所以本文不再进行G代码翻译的讨论。

G代码翻译后经过离散插值可得到的刀位信息可控制仿真机床的各轴进行运动，可得到各个时态刀具的位置、速度、方向、加速度信息。在不考虑机械力的相互作用的前提下，机床、刀具和工件均可视为刚形体，不产生变形，这样仅需知道刀位点的位置、速度、方向就可以得到刀具的姿态，并进行刀具扫描体的计算。

另外，有别于三轴数控加工，五轴数控加工由于其加工自由度增加，传统的应用于三轴的刀具扫描体算法不再适合于五轴数控加工。如果能够找到适当的方法，将刀具在空间连续运动所生成的扫描体求出，再用三维布尔运算将工件减去包络面，就可以得到最终成品形状。

扫描体生成算法

刀具在空间中的运动可以视为扫描操作，根据扫描操作路径形态，可以将一个复杂的扫描路径分解为平移扫描，旋转扫描及一般三维扫描^[17]。其中平移扫描和旋转扫描在工业造型应用较多。

平移扫描

记扫描母体为对象A，沿着一条自由扫描路径P做平移操作，生成扫描体的过程称之为平移扫描。其数学上可计算A与B的Minkowski和来得到。计算Minkowski和的实质就是沿着多边形的边对多面体进行扫描操作^[18]。

旋转扫描

旋绕扫描定义为以多面体为扫描母体单轴或者放射状的绕着某点进行旋转，以此进行扫描体构造。Korein提出求扫描体母体的极限特征，然后用分段式平面逼近求得扫描体的外轮廓曲面^[19]。

一般三维扫描

由于一般三维扫描的扫描母体、扫描路径、以及坐标的标架的不同，算法的复杂程度往往有很大的差别。在三轴数控当中，仅需应用平移扫描和旋转扫描即可完成扫描体的构造。在五轴数控中，由于涉及到AB轴的自由旋转，导致扫描体会随着刀具姿态发生变化，平移扫描和旋转扫描不能完成这类扫描体的构造。对于此类扫描体的构造，大量的研究应用包络面理论作为扫描成型的基础。

包络理论

扫描体的具体定义是一个表面或者一个实体在一定时间内沿某一轨迹运动时所占用的几何空间。参与运动的物体称之为扫描机基体G。G的位置可以由位置函数L(t)确定，则G在时刻t的几何轮廓可表示为。将t标准化为后，将各时段相加，可表示为：

此公式对体素表示的实体可进行离散计算。对于B-rep表达的扫描基体G，用表示实体扫描体G的边界，表示第k个面，和分别表示在扫描起始位置和最终位置的轮廓，则可分解为另一种表达：

通过此公式，可得到扫描体边界扫描构造的扫描体。

在五轴数控加工中，刀具旋转体的形状可用参数化曲面表示，而参数化曲面可转换为隐式表达。将刀具旋转体离散为数个单独的面f，其具有如下内在形式：

当该面按照路径运动时，将生成一簇连续运动面F。对于某一时刻t，其F可用下式表达：

设扫描基体移动，足够小，并且在和之间存在交线，则上式可以用下式代替：

考虑，方程（4- 5）可写为如下的微分形式：

满足下面两个方程的点C的集合称为面f与族F有关的特征点。

当时间在一定时间域内变化时，如果族F的特征点存在，且构成一个面，则该面称之为族F的包络面。消掉时间参数t，可得到包络面E的隐式方程如下：

从几何学上讲，包络线包括了族F沿相应特征点的每个运动面。这意味着运动面F上每一点的切面都与包络面E重合。设在时刻t，包络面E和面F上有一点P，其瞬时速度为，则点P必须满足下面条件：

式中，为运动面F在点P的法线，该等式称之为包络点的运动条件。

所以，整个曲面族F 的包络面可定义为：

该式几何意义明显，可用于扫描实体包络的求解。当以实体作为扫描母体时，相应的扫描实体包络里包含了母体的外轮廓面以及各条边扫描生成的扫描面。但当遇到包络面退化或者自相交情况时，需要进一步进行检查和处理，算法较为复杂，要得到较高的鲁棒性比较困难[11]。

基于CPU的扫描算法

基于边界的扫描

基于B-rep描述的边界的扫描体的构造依赖于扫描母体的形状及扫描路径，此类造型的优势在于数学理论充分，几何意义明显，精度较高，但算法复杂，对于一些退化情况和自交问题较难处理。在边界扫描的实践中，Minkowski和于包络理论适用于一般扫描体的边界计算。由于算法的复杂性，此类算法的并行度不高，很难应用于多核和GPU的编程环境。

基于体积的扫描

基于体积的扫描操作将扫描母体视为有限的离散体近似构成，类似于现实物体的构成方式。将扫描母体的所有离散体经过刚性变换后得到的位置进行合并，可得到最终扫描体的近似解。

由于此类扫描方法基于离散空间的方式，适应面更广，对于路径和扫描体的形状没有任何特定的要求。简单的提高离散的精度可相应提高扫描的精度，可根据应用场所，应用光线投射（Ray-casting）算法或Marching Cubes算法进行显示。相对于基于边界扫描，算法避免了自交处理的繁琐算法，算法简单易行。由于其针对单个粒子进行计算，不涉及粒子之间的计算，所以算法的并行度高，可应用于多核编程环境。但通常计算量很庞大，精度与计算量成立方比，当今CPU的运算能力和内存带宽不足以支持更高精度的离散。

数控指令翻译及驱动

数控指令用于驱动机械执行特定的动作或设置某种状态。虽然每种机床的数控指令都有所不同，不同种类的机床的数控指令集差别很大，但可以根据指令分类为：驱动指令、状态指令。

驱动指令驱动机械进行一些特定的动作，例如常见的数控铣床的G01代表直线插补指令，用于驱动一个或几个轴进行直线插补动作。状态指令设置当前模式，例如常见的G41、G42命令设置当前的刀具插补方式。

在驱动虚拟机床时，必须要将数控指令进行翻译。传统的指令翻译方法将指令翻译为一个命令ID的链表，然后根据ID的不同进行指令区分。在本节中将运用设计模式来更好的解决指令翻译中的软件设计问题。

设计模式（Design pattern）是一套被反复使用、多数人知晓的、经过分类编目的、代码设计经验的总结。使用设计模式是为了可重用代码、让代码更容易被他人理解、保证代码可靠性。常见的设计模式有23种[15]。根据数控指令的特点，可以应用软件设计模式中的命令设计模式进行动作驱动，有限状态机的方式进行状态的存储和跳转。

命令设计模式

图 3-3使用UML图描述了整个命令设计模式。其中：

1. Command接口声明了执行命令的接口。
   
2. ConcreteCommand实现了Command接口，具体定义了命令的执行方法。其中Execute()函数实现真正的命令执行，他调用Receiver（接受者）的响应操作来实现。
   
3. Client通常是应用程序，它创建一个具体的命令对象并设置它的接受者。
   
4. Invoker对应于一个触发者，这个触发者可能是特定的按钮或者特定的条件，它要求命令执行这个请求。
   
   1. Receiver作为接受者，知道如何实施与执行一个请求相关的操作。
      

   图 3-3 命令设计模式UML图

   在仿真平台中，每一种G代码都对应于一个ConcreteCommand类。对G代码进行分解后可得到一系列的ConcreteCommand类的实例。例如以下代码：
   

   G01X0087Y2234Z234
   

   G02X2345Y86234I2312
   

   G42
   

   G01X-987234Y09723Z234
   

   分析以上代码可以得到图 3-4的结构。类图中有G01、G02、G42四个类，其功能相似，都继承于AbstractCommand，每个类单独的Execute()函数执行各自相关的动作。CommandSequence类较为特殊，它存储一个链表，此链表存储各种命令的实例的指针，可以模拟一批命令进行不可分割的顺序执行的过程。
   

   图 3-4 命令及命令链表

   通常，将这些命令对应的类的实例指针按照执行的顺序放入链表中，主程序并不需要直接知道这是什么指令，就能进行相关的动作。例如以上的命令可以有如下伪代码：

   List<AbstractCommand> cmdList; cmdList.Add(new G01_Command); cmdList.Add(new G02_Command); cmdList.Add(new G42_Command); cmdList.Add(new G01_Command); foreach cmd in cmdList { int rst=cmd->Execute(); //通过AbstractCommand接口进行统一调用。 //检查返回值并执行另外的动作 }

   如果采用传统的应用链表存储指令ID的方式有以下的伪代码：

   List<int> cmdList; cmdList.Add(G01_ID); cmdList.Add(G02_ID); cmdList.Add(G42_ID); cmdList.Add(G01_ID); foreach cmd in cmdList{ switch(cmd){ case G01_ID: do_G01_Command();break; case G02_ID: do_G02_Command();break; case … } }

   传统的思路和命令模式会的对比如表3-1。可见应用命令模式会减少设计的难度并且减少软件的维护成本。

   表3-1 传统思路和命令模式对比

   	传统思路	命令模式
   接口设计	无统一接口，较为混乱	统一的接口，通过AbstractCommand定义
   添加指令的灵活度	增加ID和switch/case，增加指令会改变调用命令的逻辑。	增加相关类，调用逻辑不变。
   高级应用	较难实现，并且维护起来较为麻烦。	可以通过操作链表来实现命令的增添、删除、撤销（Undo）操作等。

5. 有限状态机

图 3-5 数控系统典型状态机

有限状态机（也称"有限状态自动机"）提供了一个简单、优雅的方法揭示和定义复杂系统的行为。它们同样也提供了一个易于理解、易于修改的有效实现策略。在仿真系统中，从控制高层逻辑的GUI到最底层的通讯协议，都可以应用它^[16]。

有限状态机提供了一种途径，使得执行了某种动作后会将处从一种状态跳转为另一种状态。图 3-5描述了一个数控系统典型的状态机。每一个圆圈表示一个"状态"（State），箭头代表了状态之间的"转化"（Transaction），箭头上标明了状态转化所需要的"动作"（Action）。一个相同的动作在不同的状态会产生不同的效果。例如在"初始化"状态时，执行"运行"，则状态依然保持在运行状态；当处于"文件已载入"的情况下，执行"运行"则会进入到"运行中"的状态，在此状态下执行"运行"则停留在"运行中"；在"报警中"的状态下，执行"运行"还是回到"报警中"的状态，仅有执行"解除报警"才能回到"运行中"的状态。

为了实现有限状态机，有以下几种典型方案：嵌套switch/case语句；迁移表；状态模式。其中状态模式具有嵌套switch/case语句的效率又有迁移表的灵活性^[16]。

状态模式


图 3-6状态模式UML

图 3-6是状态模式的UML图，其中：

6. Context定义了用户感兴趣的接口并维护了一个ConcreteState子类的实例，定义了当前的状态。
   
7. State接口定义一个接口封装特性状态相关的行为。
   
8. ConcreteState实现了Context的一个状态相关行为。
   

   在应用中，具体的State状态实例会被ConcreateState代替，Handle()函数的调用也会根据ConcreateState的不同而调用不同的Handle()。
   

   图 3-5所示状态机可用图 3-7的UML图解释表示。应用程序初始化时Application类初始化了四个状态，并将初始化状态设置为Init状态（1）。此时State实质是Init类的实例。Init类拥有五个继承的函数。执行LoadFile()动作会执行loadFile()函数，并且将this指针指向新的FileLoaded类的实例。此时State指向了FileLoaded类的实例。执行其他四个函数并不会执行有效的过程，内存中State依然指向Init。

   在FileLoaded状态下，执行Run()动作便会激发Run()函数，并且将当前this指针指向新的Running类的实例，这就实现了从FileLoaded到Running状态的转换。以此类推，Running类执行Stop()函数后将会将this指针指向FileLoaded类的实例。实现了从Running到FileLoaded的转换。

   图 3-7状态转化

   状态机编译器
   

   在具体的实践中，状态机的代码量随着状态的增加而变得几乎不可能用人工完成，必须要有适当的工具辅助人工进行代码的编写。State Machine Compiler（见：http://smc.sourceforge.net/）就是这样一种工具，它使用简便的语法实现状态机的编写，提供多语言支持，支持生成图形，大大简化了状态机的编写。
   

   真实感图形显示
   

   真实感图形技术是指在使用显示设备绘制物体图形时，必须把三维信息经过某种投影变换，在二维的显示表面上绘制出来，使其具有真实地立体感觉。三维图形的表现形式有三种，第一种是线框图，它是通过物体的棱边和轮廓线表示物体。用线框图表示的三维图形具有二义性。第二种形式是消隐图，图中只保留形体上能看见的部分，看不见或被遮挡的部分不画出来或用虚线表示。第三种形式是用光照效果、图案纹理和颜色，使图形具有立体真实地感觉。在实际应用中，第三种形式应用最多。

   在实际应用中，通常为了增加真实感，还需要包含以下图形技术：

   1. 提供精细的多边形模型及消隐技术。
      

   场景的模型的多边形数量直接决定了仿真系统的精细度，对于要求较高的场合，通过导出机床的设计图纸可以得到极为真实的机床模型。但由于应用如此精细的机床模型可能会降低场景的整体性能，并且隐藏不可见零件或合并过于细小零件对场景的视觉感官差异并不大，所以在实际应用时力求精简几何模型，达到速度和画质的平衡。

   另一方面，精细的多边形模型会为干涉检查带来更多的优势。对于某些较为特殊的机床，例如多轴联动的弯管机，可能需要进行某些极限情况下的仿真。这时机床零件之间的相互距离减小到一个临界值，如果多边形模型过于粗糙，则可能不能反映出正确的加工要求。

   多边形模型如果用线框模型进行显示，则会显示出大量的线段，没有层次感、不便于进行观察。通过面片模型进行渲染，进行隐面消除会渲染出较为真实的图形。传统的OpenGL或DirectX提供了基于Z-buffer的隐面消除方案。OpenSceneGraph则直接在物体空间进行剔除和裁剪，完全不绘制不出现的物体，为更复杂场景提供了速度更快，质量更好的隐面消除。

   1. 光照模型、明暗处理
      

   如果场景仅仅是消隐过的多边形模型，则渲染得到的多边形图形将会是缺乏立体感，看起来像是平面的对象。之所以得到这样的结果，是由于默认的光照方式使得观察者看到的只是单一的颜色。例如一个球体，则会看上去是一个均匀着色的圆。

   OpenGL提供了明暗处理的模型，将光线与对象之间的相互作用分镜面反射、漫反射和半透明表面三种。为了提高渲染的速度，OpenGL引入并实现了Phong反射模型，通过设置环境光、漫反射光和镜面反射光即可得到较为真实的三维图像。实际应用中，大多数建模软件导出的三维模型的选项中都提供了导出光照的选项，结合仿真系统自身的光照系统，能够获得最佳的图像质量。

   1. 应用材质和贴图
      

   材质的应用在提升整体视觉效果上占有较高的比例。人眼通过不同的材料的视觉效果能够区分材料的种类，而贴图则能提供一般无法用多边形表达的图形。OpenGL提供了设置多边形颜色、材质和进行多边形贴图的函数。通常，材质和贴图应用在比较仿真级别较高的场合，用于更为真实的交互环境。

一个完善的仿真平台必须要提供行业仿真的基本功能以及相关的接口。图形仿真平台最为关键的功能包括机床及环境的显示、加工刀具的显示、加工工件的显示。这些部件之间存在相互的关联，必须要建立相关的数学模型进行位置、速度、加速度的计算。为了能够驱动仿真平台的几何图形，数控平台还将导入相关的驱动指令，包括平移、旋转、换刀等。得到驱动指令后，经过离线插值转换，生成相关部件的移动指令、刀具的路径以及刀具姿态。通过刀具和工件之间的相互关系，得到工件的切削、变形的形状，最终通过显示接口反映到几何图形进行显示。为了完善用户体验，还需要建立一套适合的用户操作界面，便于用户进行指令的载入、进行加工验证、修改指令、输出仿真结果等。

数控机床几何建模及几何关系的确立

仿真系统中的虚拟数控机床要实现指令驱动，必须要建立起各种几何关系。几何关系来源于数控机床的几何模型。通常一个仿真系统中应用的几何模型都是真实机床的简化。一个典型的数控系统包括以下几个部分：

主机，它是数控机床的主体。包括机床身、立柱、主轴、进给机构等机械部件。是用于完成各种切削加工的机械部件。

数控装置，是数控机床的核心，包括硬件（印刷电路板、显示器、键盘、纸带阅读机等）以及相应的软件，用于输入NC代码，并完成输入信息的存储、数据的变换、插补运算以及实现各种控制功能。

辅助装置，指数控机床的一些必要的配套部件，用以保证数控机床的运行，如冷却、排屑、润滑、照明、监测等。它包括液压和气动装置、排屑装置、交换工作台、数控转台和数控分度头，还包括刀具及监控检测装置等。

驱动装置，它是数控机床执行机构的驱动部件，包括主轴驱动单元、进给单元、主轴电机及进给电机等。它在数控装置的控制下通过电气或电液伺服系统实现主轴和进给驱动。当几个进给联动时，可以完成定位、直线、平面曲线和空间曲线的加工。

编程及其他附属设备，可用来在机外进行零件的程序编制、存储等。

在仿真系统中，主要针对主机进行开发，其他的部件可以根据需求的不同，进行不同程度的简化。

几何建模

机床的几何模型一般可以由制造商进行提供简化的图纸进行设计。常用的设计软件包括SolidWorks、UG、AutoCAD、3DSMax等。为了能够在仿真平台中应用，这些设计软件设计的模型必须要导出为一种通用的格式。绝大数软件都支持业界标准的VRML（Virtual Reality Modeling Language，虚拟现实建模语言）格式。

对于某些特殊的部件，例如最常见的模具，需要进行参数化建模。此时需要根据模具的几何特征，编写相应的代码来实现。通常应用CSG进行参数化建模。

导入到仿真平台后，各个部件将具有一定的几何形状、材质及其他属性。必须确立几何关系，将其组装起来才能组成一个完整的机床。

几何关系确立

由软件导出的各种零件由于没有任何约束，可以在三维空间中自由的移动，具有6个自由度。为了能够让各种零件能够按照真实机床运动，必须将零件的几何关系进行设置。零件之间的几何关系分为以下几类：

父子关系：父零件能够带动子零件一起运动，而子零件能够在父零件上单独运动。

约束关系：一个零件约束另一个零件的运动，例如常见的键用于固定两个零件。

比例关系：一个零件的运动是另一个零件的运动的比例放大。

所有的零件都使用矩阵在三维空间中进行定位，以上这些关系也可以通过矩阵的形式进行表达。

图 3-1是五轴数控铣床结构的一种。工作台定义了整个机床在空间中的位置，立架X和上转台B均为工作台的直接接触体。它们与工作台属于"父子关系"。其中立架X和工作台之间是刚性结合，也可将它们看成"约束关系"。刀架Y位于立架X之上，属于"父子关系"。其中刀架Y仅能在立架X的竖直方向运动，属于"约束关系"。上转台A位于上转台B之上，属于"父子关系"。但转台A仅能做旋转运动，属于"约束关系"。

4X4矩阵表达转换

在图形学中应用最多矩阵是4X4的矩阵，其具有以下特点：

将空间中的向量通过扩展维度转换为向量，最后一位通常称之为w，这种4D向量称为齐次坐标。

用于变换的4X4矩阵由3X3变换矩阵发展而来：

4X4矩阵和3X3矩阵同样可以描述旋转变换：

但4X4矩阵可以用矩阵乘法来表达平移，而3X3矩阵中是不可能的：

6个自由度的移动可以分解为平移和旋转，令R表示旋转，T表示平移，则有：

由于使用行向量表示向量v，所以变换的顺序必须要和矩阵乘法的顺序相吻合（从左往右），先旋转再平移。所以变换后的向量v'可以表示为：

观察RT的乘积，令M=RT，可以计算得到

M左上角的3X3称为旋转部分，最下一行是平移部分，此时，通过一个单独的4X4矩阵就能够同时表达旋转和平移。

矩阵表达零件相互关系

在三维空间中，通过从场景根原点开始计算场景树每个分支的矩阵计算可以得到物体在场景根中的绝对位置。根场景是用户自定义的一个三维空间，也可以称为世界坐标。图 3-2是图 3-1的简化的场景图，场景图通过矩阵的转换来布置场景。每个物体的空间绝对位置的矩阵通过遍历并累计父矩阵得到。

工作台和立架属于"父子关系"，也属于完全固定的"约束关系"。工作台相对于场景根的转换矩阵为Mt，立架X相对于场景根的转换矩阵为Mx。如果仅更新Mt而不更新Mx，则在场景中，工作台的移动将不会带动立架X的移动。为了能够让立架X能在工作台Mt运动的时候一起运动，并且立架X自身的运动并不影响工作台的运动，需要在Mx和Mt之间引入一个矩阵Mxt，这个矩阵就确定了两者之间的关系：

对于立架X上每一个向量，都有如下的转换：

由于立架X被约束在工作台上，所以的乘积为一个常量矩阵，Mx和Mt之间的坐标关系是固定的。通过计算公式（3-8）可以得到Mxt的值。

立架X和刀架Y既属于"父子关系"，也属于"约束关系"。引入矩阵Myx确定"父子关系"，确定"约束关系"：

矩阵Myx由于有Y方向的运动的"约束关系"，根据4X4矩阵的特点，所以可得约束后的矩阵：

考虑v到v'的无约束转换有：

代表了从My空间到Mx空间无约束的转换，此转换在模型导出时已经计算好。设此时，可得：

这便实现了Y方向上的约束。

更一般的，可得各种条件下的约束：

比例关系相对简单，它的实质是运动的增量放大，可以直接的表达为以下约束：